1.1 La crisi della fisica classica

Alla fine dell'Ottocento la fisica sembrava un edificio finito. Due pilastri la reggevano: la meccanica di Newton (1687) e l'elettromagnetismo di Maxwell (1865). Il problema è che i due pilastri, presi sul serio insieme, non stanno in piedi.

Il principio di relatività galileiano

Galileo lo aveva già capito: chiuso sottocoperta di una nave che avanza di moto rettilineo uniforme, nessun esperimento meccanico può dirti se ti stai muovendo. Le farfalle volano allo stesso modo, l'acqua gocciola nello stesso punto. In termini moderni: le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il passaggio tra due sistemi inerziali \(S\) e \(S'\), con \(S'\) in moto lungo \(x\) a velocità \(v\), avviene con le trasformazioni di Galileo:

L'ultima uguaglianza, \(t' = t\), sembra così ovvia da non meritare di essere scritta: il tempo è lo stesso per tutti. È esattamente l'ipotesi che salterà. Da queste trasformazioni segue la composizione galileiana delle velocità, \(u = u' + v\).

Maxwell e una velocità che non dipende da nessuno

Maxwell unificò elettricità, magnetismo e ottica in quattro equazioni. Combinandole si ottiene un'equazione delle onde la cui velocità di propagazione è

Qui nasce il problema. In questa formula compaiono solo due costanti misurabili in laboratorio con esperimenti di elettrostatica e magnetostatica: non c'è alcun riferimento a un osservatore. Ma "velocità" rispetto a cosa? Se applichi le trasformazioni di Galileo alle equazioni di Maxwell, queste cambiano forma: in un sistema in moto la luce dovrebbe viaggiare a \(c-v\) oppure \(c+v\), e le equazioni di Maxwell non varrebbero più. Tre possibilità, tutte scomode:

1. Maxwell vale solo in un sistema privilegiato (esiste un riferimento assoluto).
2. Le equazioni di Maxwell sono sbagliate e vanno modificate.
3. Le trasformazioni di Galileo sono sbagliate.

Alla fine dell'Ottocento quasi tutti scommettevano sulla prima. Einstein scelse la terza.

L'etere luminifero

Se la luce è un'onda, ragionavano, deve esserci qualcosa che oscilla: il suono ha bisogno dell'aria, le onde del mare hanno bisogno dell'acqua. Questo mezzo fu chiamato etere luminifero e doveva avere proprietà contraddittorie: rigidissimo (per sostenere onde trasversali a velocità enorme) e insieme così tenue da non frenare i pianeti. Il sistema in quiete rispetto all'etere sarebbe stato il riferimento assoluto, quello in cui vale Maxwell. La Terra, orbitando a circa 30 km/s, dovrebbe sentire un "vento d'etere", e la velocità della luce misurata sulla Terra dovrebbe dipendere dalla direzione.

Michelson e Morley, 1887

L'effetto atteso è piccolissimo: \(v/c \approx 10^{-4}\), quindi le differenze relative di tempo sono dell'ordine di \((v/c)^2 \approx 10^{-8}\). Michelson costruì lo strumento capace di rivelarlo: l'interferometro. Un raggio viene diviso in due da uno specchio semiriflettente, i due raggi percorrono bracci perpendicolari, si riflettono e si ricombinano. Se i tempi di percorrenza differiscono, le frange di interferenza si spostano.

Il calcolo classico dà, per il braccio parallelo al moto (andata contro vento, ritorno a favore) e per quello perpendicolare:

Con \(L \approx 11\) m (ottenuti con riflessioni multiple) e \(\beta = 10^{-4}\), Michelson e Morley si aspettavano uno spostamento di circa 0,4 frange, mentre la loro sensibilità arrivava a 0,01 frange. Il risultato fu nullo: nessuno spostamento, in nessuna stagione, in nessuna orientazione. È stato definito "il più famoso esperimento fallito della storia": fallito nel senso che non trovò ciò che cercava, e proprio per questo decisivo.

1.2 I due postulati di Einstein (1905)

Nell'articolo Sull'elettrodinamica dei corpi in movimento Einstein taglia il nodo. Niente etere, niente correzioni ad hoc: due sole affermazioni, e tutte le conseguenze che ne derivano, per quanto sgradevoli.

Il secondo postulato è il punto di rottura. Se un'astronave viaggia a 0,9c e accende i fari, l'equipaggio vede la luce allontanarsi a c; ma anche un osservatore fermo la vede viaggiare a c, non a 1,9c. Con la composizione galileiana delle velocità questo è impossibile. Qualcosa deve cedere, e ciò che cede è l'ipotesi \(t'=t\).

Nota anche cosa non dicono i postulati: non dicono che "tutto è relativo". Al contrario, affermano che alcune cose sono assolute — le leggi della fisica e la velocità della luce — e sono proprio questi assoluti a costringere spazio e tempo a diventare relativi.

1.3 La relatività della simultaneità

Prima di parlare di orologi che rallentano, va demolita un'idea più profonda: che abbia senso dire "questi due eventi sono avvenuti nello stesso istante" senza specificare rispetto a chi.

L'esperimento mentale del treno. Un vagone si muove a velocità \(v\). Esattamente al centro c'è una lampada; alle due estremità, due rivelatori. La lampada emette un lampo.

• Per un passeggero (solidale col treno): la luce percorre la stessa distanza verso la coda e verso la testa, alla stessa velocità c. I due rivelatori scattano simultaneamente.
• Per chi sta sulla banchina: la luce viaggia sempre a c (secondo postulato), ma nel frattempo la coda del vagone avanza incontro al lampo mentre la testa fugge. Il rivelatore di coda scatta prima.

Nessuno dei due sbaglia. Non è un'illusione ottica né un ritardo di propagazione: entrambi hanno già tenuto conto del tempo che la luce impiega ad arrivare. Semplicemente, la simultaneità di eventi che avvengono in luoghi diversi dipende dal sistema di riferimento. Lo sfasamento misurato dalla banchina vale

dove \(L_0\) è la lunghezza propria del vagone. Il fattore \(1/c^2\) spiega perché non ce ne accorgiamo mai: per un treno lungo 200 m a 300 km/h lo sfasamento è dell'ordine di 10⁻¹³ s.

1.4 Dilatazione dei tempi

La derivazione più limpida usa un orologio a luce: due specchi paralleli a distanza \(d\), un impulso luminoso che rimbalza. Un "tic" è un viaggio di andata e ritorno.

Nel sistema in cui l'orologio è fermo, il tic dura \(\Delta\tau = 2d/c\). Per l'osservatore che lo vede muoversi a \(v\), nel tempo \(\Delta t\) l'orologio si sposta di \(v\Delta t\) e la luce percorre l'ipotenusa. Per il teorema di Pitagora, su mezzo tic:

Sostituendo \(d = c\,\Delta\tau/2\) e risolvendo per \(\Delta t\):

Poiché \(\gamma \ge 1\), risulta sempre \(\Delta t \ge \Delta\tau\): l'orologio in moto è quello che segna di meno. Il tempo \(\Delta\tau\) misurato da un orologio solidale con l'evento si chiama tempo proprio, ed è il più breve tra tutti i tempi misurabili tra quei due eventi.

E la simmetria? Se io vedo il tuo orologio rallentare, tu vedi rallentare il mio: entrambe le affermazioni sono vere, perché ciascuno usa la propria definizione di simultaneità per confrontare orologi distanti. Non c'è contraddizione finché i due non si reincontrano — e per reincontrarsi qualcuno deve accelerare (vedi il paradosso dei gemelli, sezione 4).

La verifica: i muoni cosmici

I raggi cosmici, urtando l'alta atmosfera a circa 15 km di quota, producono muoni, particelle instabili con vita media propria \(\tau_0 = 2{,}2\ \mu\)s. Anche viaggiando a velocità prossima a c, in \(2{,}2\ \mu\)s percorrerebbero appena \(c\tau_0 \approx 660\) m: al suolo non dovrebbe arrivarne quasi nessuno. Invece ne rileviamo in abbondanza (circa 1 al minuto su ogni centimetro quadrato).

• Dal nostro punto di vista (a terra): a \(\beta = 0{,}998\) si ha \(\gamma \approx 15{,}8\), quindi la vita media osservata è \(\gamma\tau_0 \approx 35\ \mu\)s e la distanza percorribile diventa una decina di km.
• Dal punto di vista del muone: la sua vita media resta 2,2 μs, ma l'atmosfera gli viene incontro contratta: 15 km / 15,8 ≈ 950 m, che percorre comodamente.

Due descrizioni diverse, stessa previsione osservabile. È la firma di una teoria coerente: gli osservatori non concordano su tempi e lunghezze, ma concordano sempre su cosa succede.

1.5 Contrazione delle lunghezze

Misurare la lunghezza di un oggetto in moto significa segnare simultaneamente le posizioni dei suoi due estremi. Ma "simultaneamente" dipende dal riferimento: ecco perché anche la lunghezza dipende dall'osservatore.

\(L_0\) è la lunghezza propria, misurata nel sistema in cui l'oggetto è fermo, ed è la maggiore possibile. La contrazione avviene solo nella direzione del moto: le dimensioni trasversali restano invariate. Se non fosse così si potrebbe stabilire chi "si muove davvero", violando il primo postulato: pensa a due anelli coassiali in moto relativo, quale dei due dovrebbe passare dentro l'altro?

1.6 Le trasformazioni di Lorentz

Sono le trasformazioni che sostituiscono quelle di Galileo: le uniche compatibili con i due postulati. Per \(S'\) in moto con velocità \(v\) lungo l'asse \(x\) di \(S\):

e le inverse si ottengono scambiando \(v \to -v\):

Tre osservazioni che vale la pena mandare a memoria:

1. Il termine \(-vx/c^{2}\) nella trasformazione del tempo è tutta la relatività della simultaneità: due eventi con lo stesso \(t\) ma \(x\) diversi hanno \(t'\) diversi.
2. Per \(v \ll c\) si ha \(\gamma \to 1\) e \(vx/c^{2} \to 0\): si riottengono le trasformazioni di Galileo. La meccanica classica non è "sbagliata", è il limite a basse velocità di una teoria più generale (principio di corrispondenza).
3. Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze non sono ipotesi aggiuntive: si ricavano da queste quattro righe.

Verifica rapida del secondo postulato: se in \(S\) un fronte luminoso parte dall'origine, allora \(x = ct\). Sostituendo: \(x' = \gamma(ct - vt) = \gamma t(c-v)\) e \(t' = \gamma t(1 - v/c)\), da cui \(x'/t' = c\). La velocità della luce resta c, come richiesto.

1.7 Composizione relativistica delle velocità

Se un oggetto ha velocità \(u'\) in \(S'\), e \(S'\) si muove a \(v\) rispetto a \(S\), la velocità in \(S\) non è \(u'+v\) ma

Il denominatore è il correttore relativistico. Due controlli:

• Basse velocità: se \(u'v \ll c^{2}\) il denominatore vale circa 1 e si torna a \(u = u'+v\). Ecco perché sommare le velocità funziona benissimo per un passeggero che cammina su un treno.
• Luce: se \(u' = c\), allora \(u = (c+v)/(1+v/c) = c\). Qualunque sia \(v\), il risultato è c. La formula è costruita in modo che c sia un punto fisso.

Conseguenza: componendo due velocità entrambe minori di c si ottiene sempre una velocità minore di c. Non si "raggiunge" c per accumulo. Due astronavi che si allontanano dalla Terra in direzioni opposte a 0,8c ciascuna si vedono allontanare reciprocamente a \((0{,}8+0{,}8)/(1+0{,}64) = 0{,}976c\), non a 1,6c.

2.1 Perché p = mv non può funzionare

La conservazione della quantità di moto è una delle leggi più solide della fisica. Per il primo postulato, deve valere in tutti i sistemi inerziali: se in un urto la quantità di moto totale si conserva per me, deve conservarsi anche per te che mi passi accanto a 0,8c.

Facendo il conto con \(p = mv\) e le trasformazioni di Lorentz per le velocità, il risultato è negativo: un urto che conserva Σmv in un sistema non lo conserva in un altro. Delle due l'una: o si rinuncia alla conservazione della quantità di moto (impensabile), o si cambia la definizione di quantità di moto.

La definizione corretta usa il tempo proprio al posto del tempo coordinato: invece di \(m\,\mathrm{d}x/\mathrm{d}t\) si scrive \(m\,\mathrm{d}x/\mathrm{d}\tau\). Poiché \(\mathrm{d}t = \gamma\,\mathrm{d}\tau\), si ottiene

La scelta non è arbitraria: il tempo proprio è l'unico "orologio" su cui tutti gli osservatori concordano (è un invariante, vedi sezione 3). Con questa definizione la conservazione della quantità di moto vale in ogni sistema inerziale, e per \(v \ll c\) si riduce a \(p \approx mv\).

2.2 Energia relativistica

Calcolando il lavoro necessario per portare un corpo da fermo alla velocità \(v\) con la nuova quantità di moto, si ottiene un'energia cinetica che non è più \(\tfrac12 mv^2\):

Il termine \(\gamma mc^2\) si interpreta come energia totale e il termine \(mc^2\) come energia a riposo:

Il limite classico non è un caso fortunato

Sviluppando \(\gamma\) in serie per \(\beta \ll 1\) (sviluppo binomiale, \((1-x)^{-1/2} \approx 1 + x/2 + \dots\)):

Il primo termine è esattamente l'energia cinetica di Newton. Non è una coincidenza: è il principio di corrispondenza all'opera. Il secondo termine è la prima correzione relativistica, e per un'automobile vale circa 10⁻¹⁶ volte il primo.

2.3 Equivalenza massa-energia

Il risultato più celebre della fisica del Novecento sta in tre simboli:

Dice qualcosa di radicale: un corpo fermo, che non fa nulla, possiede energia solo in virtù della propria massa. E poiché \(c^2\) è un numero enorme (9 × 10¹⁶ m²/s²), quantità di massa piccolissime corrispondono a energie gigantesche. Un grammo di qualunque sostanza contiene \(9\times10^{13}\) J di energia a riposo, quanto circa 21 kton di TNT.

La lettura moderna è ancora più forte: massa ed energia non sono due grandezze "convertibili" l'una nell'altra come euro e dollari; sono la stessa grandezza fisica misurata in unità diverse. Conseguenze:

• Un corpo caldo ha massa maggiore di uno freddo (di pochissimo: scaldare 1 kg d'acqua di 100 °C ne aumenta la massa di 5 × 10⁻¹² kg).
• Una molla compressa pesa più della stessa molla rilassata.
• Nel protone, la somma delle masse dei quark è circa l'1% della massa totale: il 99% della massa della materia ordinaria è energia di legame e di moto dei costituenti. La bilancia, in un certo senso, pesa energia.

Difetto di massa e reazioni nucleari

In una reazione nucleare la massa dei prodotti è minore della massa dei reagenti; la differenza \(\Delta m\) compare come energia:

• Fissione dell'uranio-235: si libera circa lo 0,09% della massa, ossia ~200 MeV per nucleo.
• Fusione di idrogeno in elio nel Sole: circa lo 0,7% della massa diventa energia. Il Sole trasforma ogni secondo 4,3 milioni di tonnellate di massa in radiazione, e potrà continuare per altri 5 miliardi di anni.
• Annichilazione elettrone-positrone: il 100% della massa diventa energia, sotto forma di due fotoni da 0,511 MeV ciascuno. È l'unico processo con efficienza totale, ed è alla base della tomografia PET usata in ospedale.

2.4 La relazione energia-impulso

Eliminando \(v\) tra \(E = \gamma mc^2\) e \(p = \gamma mv\) si ottiene la relazione fondamentale della dinamica relativistica¹:

È una specie di teorema di Pitagora dell'energia, e conviene tenerla a mente come un triangolo rettangolo: i cateti sono \(pc\) e \(mc^2\), l'ipotenusa è \(E\).

Due casi limite, entrambi importanti:

• Particella ferma (\(p=0\)): \(E = mc^2\). Si ritrova l'energia a riposo.
• Fotone (\(m=0\)): \(E = pc\). Una particella senza massa deve viaggiare a c e possiede comunque quantità di moto — motivo per cui la luce esercita pressione di radiazione e le vele solari funzionano.

Combinando con \(E = h\nu\) si ottiene \(p = h\nu/c = h/\lambda\), il ponte con la fisica quantistica.

Unità pratiche

In fisica delle particelle si usa l'elettronvolt: \(1\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\) J. Le masse si esprimono in MeV/c² o GeV/c², così che l'energia a riposo si legge direttamente:

Con queste unità, un protone accelerato a 6,5 TeV ha \(\gamma = E/(mc^2) = 6500/0{,}938 \approx 6900\).

3.1 Che cosa è un invariante

Fin qui la relatività è sembrata una teoria di cose che cambiano. È l'impressione sbagliata, ed è anche il motivo per cui il nome "relatività" è infelice: Einstein stesso avrebbe preferito teoria degli invarianti.

Analogia geometrica. Prendi un segmento sul foglio e un sistema di assi cartesiani. Le coordinate \(\Delta x\) e \(\Delta y\) dipendono da come orienti gli assi: ruotandoli, cambiano entrambe. Ma la quantità

non cambia mai: è la lunghezza del segmento, una proprietà dell'oggetto e non del sistema di riferimento. Le coordinate sono "relative", la distanza è "assoluta".

In relatività succede lo stesso, con due differenze: gli assi da ruotare sono spazio e tempo, e il segno nella combinazione è meno anziché più. Un cambiamento di sistema inerziale (un boost) è l'analogo di una rotazione, e c'è una quantità che nessun boost modifica.

3.2 L'intervallo spaziotemporale

Dati due eventi separati da \(\Delta t\) e \(\Delta x\) (prendiamo il moto lungo x, con \(\Delta y = \Delta z = 0\)), si definisce l'intervallo:

In generale \(\Delta s^{2} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} - \Delta y^{2} - \Delta z^{2}\). La verifica dell'invarianza è un calcolo di due righe: sostituendo le trasformazioni di Lorentz \(\Delta x' = \gamma(\Delta x - v\Delta t)\) e \(\Delta t' = \gamma(\Delta t - v\Delta x/c^{2})\),

perché \(\gamma^{2}(1-\beta^{2}) = 1\) per definizione di \(\gamma\). I termini misti si cancellano: l'intervallo è lo stesso in tutti i sistemi inerziali. Due osservatori misureranno \(\Delta t\) e \(\Delta x\) diversi, ma combinandoli così otterranno lo stesso numero.

3.3 I tre tipi di separazione

Il segno dell'intervallo è invariante, quindi classifica le coppie di eventi in modo assoluto: su questo tutti gli osservatori concordano.

La causalità è salva

Qui si scioglie il timore che "se l'ordine temporale è relativo, l'effetto potrebbe precedere la causa". Non può accadere: l'ordine temporale può invertirsi solo per eventi con separazione di tipo spazio, cioè eventi che non possono essersi influenzati a vicenda, perché nemmeno la luce fa in tempo ad andare dall'uno all'altro. Per tutte le coppie causalmente connesse (tipo tempo o tipo luce), l'ordine è lo stesso per tutti gli osservatori.

È anche il motivo profondo per cui nulla può superare c: un segnale più veloce della luce collegherebbe eventi di tipo spazio, e allora esisterebbe un sistema di riferimento in cui la risposta arriva prima della domanda.

3.4 Tempo proprio e distanza propria

L'intervallo non è solo un numero astratto: ha un significato fisico diretto, diverso nei due casi.

Separazione di tipo tempo

Esiste un sistema in cui i due eventi accadono nello stesso posto (\(\Delta x' = 0\)); in quel sistema l'intervallo si riduce a \(\Delta s^{2} = c^{2}\Delta t'^{2}\). Quel \(\Delta t'\) è il tempo proprio:

È il tempo segnato da un orologio che assiste a entrambi gli eventi, ed è invariante: tutti gli osservatori, pur misurando \(\Delta t\) diversi, calcolano lo stesso \(\Delta\tau\) e sono d'accordo su quanto segna quell'orologio. La dilatazione dei tempi vista in sezione 1 è esattamente questa formula riscritta.

Separazione di tipo spazio

Esiste un sistema in cui i due eventi sono simultanei (\(\Delta t' = 0\)); la distanza misurata in quel sistema è la distanza propria:

ed è la lunghezza propria di un oggetto quando i due eventi sono "posizione dell'estremo A" e "posizione dell'estremo B".

3.5 Quadrivettori

La relatività diventa elegante quando si raggruppano tempo e spazio in un unico oggetto a quattro componenti. Il quadrivettore posizione è

e il suo "modulo quadro" relativistico, calcolato con la regola del segno meno sulle componenti spaziali, è proprio l'intervallo. Ogni quadrivettore si trasforma con le trasformazioni di Lorentz e ha un modulo quadro invariante. I due che ci servono qui:

Il secondo invariante è la formula già incontrata nella sezione 2, letta con occhi nuovi:

La massa è al quadrimpulso ciò che il tempo proprio è alla posizione: il modulo invariante. Energia e quantità di moto cambiano da osservatore a osservatore; la massa no. Questo è l'argomento definitivo contro l'idea di "massa che cresce con la velocità".

Massa invariante di un sistema

La massa invariante si calcola dal quadrimpulso totale, e non è la somma delle masse: si sommano le componenti (energie e quantità di moto), poi si prende il modulo. Esempio istruttivo: due fotoni di energia \(E\) che viaggiano in direzioni opposte hanno ciascuno massa nulla, ma il sistema ha energia totale \(2E\) e quantità di moto totale nulla, dunque

Un sistema di particelle senza massa possiede massa. È lo stesso meccanismo per cui il protone pesa 100 volte la somma dei suoi quark.

3.6 Il catalogo degli invarianti

Vale la pena rileggere questa tabella dopo ogni sezione: la colonna di sinistra è ciò che la teoria conserva, la colonna di destra è ciò che la teoria ci chiede di lasciar andare. Nessuna delle due è vuota, ed è questo l'equilibrio della relatività.

4.1 Lo spaziotempo come geometria

Nel 1908 Hermann Minkowski, che era stato professore di Einstein al Politecnico di Zurigo, presentò la relatività ristretta sotto una luce nuova, con una frase rimasta celebre: "D'ora in poi lo spazio di per sé e il tempo di per sé sono destinati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione dei due conserverà una realtà indipendente."

L'idea: non trattare spazio e tempo come contenitori separati, ma come le quattro coordinate di un'unica varietà, lo spaziotempo. Un punto di questo spazio è un evento: "qui, adesso". La storia di un oggetto è una curva, la sua linea di universo. Anche un oggetto fermo ha una linea di universo, verticale: non si muove nello spazio, ma avanza nel tempo.

Nel diagramma si usa \(ct\) sull'asse verticale e \(x\) sull'orizzontale, così che entrambi gli assi si misurino in metri (o entrambi in anni e anni-luce). Con questa scelta la luce viaggia sempre a 45°.

La pendenza di una linea di universo rispetto alla verticale misura la velocità: più è inclinata, più il corpo è veloce. Il limite \(v = c\) corrisponde ai 45°, e questo pone un vincolo assoluto: ogni linea di universo materiale resta dentro il cono di luce. Da un dato evento si può raggiungere solo il proprio futuro causale, e solo il proprio passato causale può averci influenzato.

4.2 Gli assi di un altro osservatore

Come si disegna, sullo stesso foglio, il sistema \(S'\) che si muove a \(\beta\)? Due domande, due rette:

• Asse ct′ = luogo degli eventi con \(x' = 0\), cioè la linea di universo dell'origine di \(S'\): la retta \(ct = x/\beta\), inclinata di \(\arctan\beta\) rispetto all'asse ct.
• Asse x′ = luogo degli eventi con \(t' = 0\), cioè gli eventi simultanei all'origine per \(S'\): dalla trasformazione \(t' = \gamma(t - vx/c^{2}) = 0\) segue \(ct = \beta x\), inclinata di \(\arctan\beta\) rispetto all'asse x.

I due assi si chiudono simmetricamente verso la bisettrice a 45°, come le lame di una forbice. Il cono di luce resta fermo: è la stessa retta per tutti, ed è precisamente il contenuto del secondo postulato tradotto in geometria.

4.3 Il paradosso dei gemelli

Il gemello A resta sulla Terra. Il gemello B parte per una stella a 4 anni-luce viaggiando a \(\beta = 0{,}8\) (\(\gamma = 5/3\)), arriva e torna indietro.

• Per A: il viaggio dura \(t = 2 \times 4/0{,}8 = 10\) anni.
• Per B: \(\tau = t/\gamma = 10 \times 0{,}6 = 6\) anni.

B torna con 4 anni in meno. Dov'è il paradosso? Nell'obiezione: "per simmetria, ciascuno vede l'orologio dell'altro rallentare, quindi ciascuno dovrebbe tornare più giovane dell'altro — contraddizione".

La risposta è che la situazione non è simmetrica. A resta in un unico sistema inerziale per tutto il tempo; B no: per tornare indietro deve invertire la rotta, e in quell'istante cambia sistema di riferimento. La relatività ristretta tratta senza problemi il moto accelerato — basta spezzare il viaggio in tratti inerziali — ma i due gemelli non sono intercambiabili. Chi accelera lo sa: lo sente addosso.

Verifica sperimentale: nel 1971 Hafele e Keating portarono orologi atomici su voli di linea attorno al mondo e trovarono differenze di alcune centinaia di nanosecondi, in accordo con le previsioni (contributo di relatività ristretta e generale insieme). Oggi la stessa cosa si misura in laboratorio con orologi separati da poche decine di centimetri di dislivello.

Il palo e il granaio, in breve

Un palo lungo 10 m viaggia a \(\beta\) tale che \(\gamma = 2\) verso un granaio lungo 5 m con due porte. Per il contadino il palo è contratto a 5 m e sta tutto dentro, con le porte chiuse per un istante. Per il palo, il granaio è contratto a 2,5 m: impossibile che ci stia. Chi ha ragione? Entrambi: le due porte, che per il contadino si chiudono simultaneamente, per il palo si chiudono in istanti diversi. Ancora una volta il colpevole è la simultaneità.

4.4 La rapidità: la variabile che si somma

C'è un modo elegante di riassumere tutta la sezione. Definiamo la rapidità \(\varphi\) di un sistema tramite

Con questa variabile la trasformazione di Lorentz assume la forma di una rotazione, con le funzioni iperboliche al posto di seno e coseno:

e soprattutto le rapidità si sommano: componendo due boost successivi si ottiene \(\varphi = \varphi_1 + \varphi_2\). La formula relativistica di composizione delle velocità, che sembrava arbitraria, non è altro che la formula di addizione della tangente iperbolica riscritta in termini di \(\beta\).

Questo chiarisce anche perché c non si raggiunge: \(\beta = \tanh\varphi\) tende a 1 solo per \(\varphi \to \infty\). Si può accumulare rapidità quanto si vuole — è lei la quantità che "si somma" come nell'intuizione galileiana — ma la velocità corrispondente resta sempre al di sotto di c.

5.1 Perché la relatività ristretta non bastava

La teoria del 1905 ha due limiti dichiarati, e Einstein li conosceva bene.

1. Vale solo per sistemi inerziali. Il primo postulato mette sullo stesso piano tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme, ma lascia fuori chi accelera. È una restrizione poco soddisfacente: perché l'universo dovrebbe avere una classe privilegiata di osservatori?
2. È incompatibile con la gravità di Newton. Nella legge \(F = G m_1 m_2 / r^2\) la distanza \(r\) è quella attuale: se il Sole scomparisse, secondo Newton la Terra devierebbe all'istante. Ma "all'istante" è una parola priva di senso in relatività — la simultaneità dipende dall'osservatore — e in ogni caso nessuna informazione può viaggiare più veloce di c.

Servono dunque una teoria che valga per tutti gli osservatori e una descrizione della gravità che si propaghi a velocità finita. Einstein ci mise dieci anni: la relatività generale è del novembre 1915.

5.2 Il principio di equivalenza

Nel 1907, mentre lavorava all'ufficio brevetti di Berna, Einstein ebbe quello che chiamò "il pensiero più felice della mia vita": una persona in caduta libera non sente il proprio peso. Chi cade non ha modo di accorgersi che esiste un campo gravitazionale: tutto attorno a lui cade insieme a lui.

Alla radice c'è un fatto sperimentale noto fin da Galileo: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente da massa e composizione. In linguaggio newtoniano significa che la massa che compare in \(F = ma\) (inerziale) e quella che compare nella legge di gravitazione (gravitazionale) coincidono:

Nella meccanica di Newton questa uguaglianza è una coincidenza inspiegata: nulla, nella teoria, impone che la resistenza al moto e la "carica gravitazionale" siano la stessa grandezza. Eppure è verificata con precisione straordinaria — dagli esperimenti di Eötvös a inizio Novecento fino alla missione spaziale MICROSCOPE, che nel 2022 l'ha confermata a una parte su 10¹⁵. Einstein prese sul serio quella coincidenza e ne fece il fondamento della teoria.

5.3 Che cosa segue subito dal principio di equivalenza

Il bello è che dal solo principio di equivalenza, senza alcuna matematica avanzata, si ricavano già due previsioni che la fisica di Newton non contempla.

La luce viene deviata dalla gravità

Immagina un raggio di luce che attraversa orizzontalmente una cabina in accelerazione. Nel tempo che la luce impiega a percorrere la larghezza della cabina, la cabina si è spostata verso l'alto: rispetto alle sue pareti, il raggio arriva un po' più in basso di dove era entrato. Per chi sta dentro, il raggio è curvo. Ma per il principio di equivalenza la stessa cosa deve accadere in una cabina ferma in un campo gravitazionale. Dunque la gravità curva i raggi di luce, anche se i fotoni non hanno massa.

Gli orologi in basso rallentano

Nella stessa cabina accelerata, un segnale luminoso emesso dal pavimento verso il soffitto arriva a un rivelatore che nel frattempo si è messo in moto allontanandosi dalla sorgente: per effetto Doppler la frequenza ricevuta è minore. Traducendo con il principio di equivalenza: la luce che sale in un campo gravitazionale si arrossa (redshift gravitazionale), e poiché la frequenza di un'onda è un orologio, ne segue che un orologio in basso batte più lentamente di uno in alto. Per dislivelli piccoli:

Sulla Terra, per \(h = 1\) m, il rapporto vale circa 10⁻¹⁶: un orologio al piano terra perde un secondo ogni 300 milioni di anni rispetto a uno al primo piano. Piccolo, ma oggi si misura in laboratorio.

5.4 Lo spaziotempo curvo

La svolta concettuale del 1915 è togliere alla gravità lo status di forza. Nella relatività generale un corpo che "cade" non è soggetto ad alcuna forza: si muove lungo una geodetica, cioè la linea più dritta possibile in uno spaziotempo che le masse hanno incurvato. Se percepiamo un peso, è perché il pavimento ci impedisce di seguire la nostra geodetica.

Il contenuto matematico sta nell'equazione di campo di Einstein, che scriviamo solo per guardarla:

A sinistra c'è la geometria (curvatura), a destra il contenuto di energia, materia e pressione. Non serve saperla usare: basta cogliere la struttura, cioè che geometria e materia sono legate da un'unica uguaglianza. Le orbite dei pianeti, la caduta di un sasso e l'espansione dell'universo sono tutte soluzioni della stessa equazione.

Curvatura del tempo, prima ancora che dello spazio

Un punto che le immagini divulgative nascondono quasi sempre: per un sasso che cade, l'effetto dominante non è la curvatura dello spazio, ma quella del tempo. Poiché gli orologi in basso rallentano, la traiettoria che massimizza il tempo proprio — la geodetica — è quella che "indugia" dove il tempo scorre più lentamente, cioè più in basso. Il sasso cade perché così invecchia di più. Alle velocità ordinarie, la curvatura spaziale contribuisce in modo del tutto trascurabile; conta invece per la luce, ed è la ragione del famoso fattore 2 nella deflessione.

5.5 Dilatazione gravitazionale del tempo

Attorno a una massa sferica non rotante, la soluzione esatta dell'equazione di campo fu trovata da Karl Schwarzschild già nel 1916, mentre si trovava al fronte. Ne discende che un orologio fermo a distanza \(r\) dal centro batte più lentamente di uno posto a grande distanza, secondo

dove \(\Delta t\) è il tempo misurato lontano dalla massa e \(r_s = 2GM/c^2\) è il raggio di Schwarzschild. Per campi deboli (\(r_s \ll r\)) la formula si riduce all'approssimazione del paragrafo precedente.

Le verifiche

• Pound e Rebka, 1959. Alla torre di Harvard, su un dislivello di 22,5 m, misurarono uno spostamento di frequenza di circa 2,5 × 10⁻¹⁵, in accordo con \(gh/c^2\). Fu possibile grazie all'effetto Mössbauer, che fornisce righe gamma di larghezza estremamente ridotta.
• Hafele e Keating, 1971. Orologi atomici a bordo di voli di linea attorno al mondo tornarono sfasati di alcune centinaia di nanosecondi rispetto a quelli rimasti a terra, con contributi sia di relatività ristretta (velocità) sia generale (quota).
• Orologi ottici, oggi. La sensibilità è tale da rivelare la differenza fra due orologi separati da pochi centimetri di dislivello: la dilatazione gravitazionale del tempo è diventata uno strumento di geodesia.

5.6 Le verifiche classiche

La precessione del perielio di Mercurio

L'orbita di Mercurio non si chiude: il suo perielio avanza di circa 574 secondi d'arco per secolo. Quasi tutto si spiega con le perturbazioni degli altri pianeti, ma restavano 43 secondi d'arco per secolo inspiegati — al punto che si era ipotizzato un pianeta sconosciuto, Vulcano, mai trovato. Nel novembre 1915 Einstein calcolò l'effetto con la sua nuova teoria e ottenne esattamente 43. Raccontò di avere avuto per giorni "palpitazioni al cuore": era la prima volta che la teoria spiegava un fatto già noto senza alcun parametro aggiustabile.

La deflessione della luce

Un raggio che sfiora il bordo del Sole viene deviato di

cioè il doppio del valore che si otterrebbe trattando la luce come un proiettile newtoniano: metà viene dalla curvatura del tempo, metà da quella dello spazio, e il fattore 2 è quindi una firma specifica della relatività generale. Il 29 maggio 1919 la spedizione di Arthur Eddington fotografò durante un'eclissi totale le stelle vicine al bordo solare e confermò la previsione. La notizia fece il giro del mondo e rese Einstein una celebrità.

Lo stesso fenomeno, su scala cosmica, produce le lenti gravitazionali: ammassi di galassie che deformano l'immagine di galassie più lontane in archi, immagini multiple o anelli di Einstein. Oggi è uno strumento ordinario di lavoro, usato anche per pesare la materia oscura.

Il ritardo di Shapiro

Un segnale radio che passa vicino al Sole impiega qualche centinaio di microsecondi in più del previsto per andare e tornare da una sonda: non perché rallenti — localmente la luce viaggia sempre a c — ma perché il percorso attraversa una regione in cui la geometria è deformata. Misurato per la prima volta nel 1966 e verificato oggi con precisione di una parte su 10⁵ grazie alla sonda Cassini.

5.7 Buchi neri

Se una massa viene compressa entro il proprio raggio di Schwarzschild, la curvatura diventa tale che nessun segnale può più uscire:

Per il Sole varrebbe circa 3 km, per la Terra 9 mm. La sfera di raggio \(r_s\) è l'orizzonte degli eventi: non è una superficie materiale né un muro che si possa toccare, ma un confine causale, la frontiera oltre la quale tutti i coni di luce sono inclinati verso l'interno e ogni futuro possibile porta al centro.

Due punti di vista, entrambi corretti:

• Chi guarda da lontano vede l'orologio di una sonda in caduta rallentare sempre di più e la sua luce arrossarsi e affievolirsi, fino a congelarsi apparentemente sull'orizzonte, che non viene mai raggiunto.
• Chi cade attraversa l'orizzonte in un tempo proprio finito, senza notare nulla di particolare nell'istante del passaggio (se il buco nero è abbastanza grande da rendere trascurabili le forze di marea). Non c'è ritorno, ma nemmeno alcun cartello di avviso.

Non sono più oggetti teorici: nel 2019 la collaborazione Event Horizon Telescope ha pubblicato l'immagine dell'ombra del buco nero al centro della galassia M87 (6,5 miliardi di masse solari) e nel 2022 quella di Sagittarius A*, al centro della nostra galassia (4 milioni di masse solari), la cui esistenza era già stata dedotta seguendo per decenni le orbite delle stelle vicine — lavoro premiato con il Nobel per la fisica 2020.

5.8 Onde gravitazionali

Se lo spaziotempo è un'entità dinamica, può oscillare. Masse in moto accelerato asimmetrico emettono onde gravitazionali: increspature della geometria che si propagano a velocità c, allungando e accorciando alternativamente le distanze trasversali al loro cammino.

Sono debolissime: l'onda tipica che ci raggiunge deforma le distanze di una parte su 10²¹, cioè meno di un millesimo del diametro di un protone su un braccio di 4 km. Einstein stesso dubitò a lungo che fossero osservabili. Poi, il 14 settembre 2015, i due interferometri LIGO registrarono a 7 millisecondi di distanza lo stesso segnale, GW150914: la fusione di due buchi neri di circa 30 masse solari ciascuno, avvenuta 1,3 miliardi di anni fa. Nella fusione, circa 3 masse solari sono state convertite in energia gravitazionale in una frazione di secondo — E = mc² su scala cosmica, con una potenza istantanea superiore a quella luminosa di tutte le stelle dell'universo osservabile.

Da allora i rivelatori (LIGO negli Stati Uniti, Virgo in Italia presso Pisa, KAGRA in Giappone) hanno registrato centinaia di eventi. Nel 2017 la fusione di due stelle di neutroni è stata osservata sia in onde gravitazionali sia in luce: è nata l'astronomia multimessaggero, e si è verificato che le onde gravitazionali viaggiano alla velocità della luce con uno scarto inferiore a una parte su 10¹⁵.

5.9 Che cosa resta aperto

A più di un secolo di distanza, ogni previsione della relatività generale che siamo stati in grado di mettere alla prova ha superato l'esame. Ma la teoria non chiude il discorso, lo sposta più avanti.

• Gravità e quanti non parlano la stessa lingua. La relatività generale descrive uno spaziotempo continuo e deterministico; la meccanica quantistica descrive il mondo microscopico in termini probabilistici. Dove servirebbero entrambe — il centro di un buco nero, il primissimo universo — nessuna delle due funziona. Costruire una teoria quantistica della gravità è il principale problema aperto della fisica teorica.
• Cosmologia. Applicata all'universo intero, la teoria prevede che esso non possa essere statico: è la base del modello del big bang, confermato dall'espansione osservata e dalla radiazione cosmica di fondo. Restano però da capire la materia oscura e l'energia oscura, che insieme costituirebbero circa il 95% del contenuto dell'universo.